Calcolo, design e installazione meridiana orizzontale con analemmi

Sono da sempre un appassionato di gnomonica, e nel tempo mi sono letto diverse pubblicazioni sulle meridiane.

Ho iniziato con il progetto e la realizzazione di una meridiana orizzontale.
Trovai un articolo su Le Scienze (correva l’anno 1981) che spiegava come disegnare la griglia completa di una meridiana orizzontale, e vi era riportato un codice Basic per il calcolo dei punti d’ombra da disegnare sopra un foglio bianco, vedi la storia completa nella pagina seguente.

Ho quindi provato a costruirne una per casa, del tipo verticale, e dopo diverse prove e verifiche sono riuscito a costruirla.

Nel seguito darò alcune indicazioni su come costruirsi da soli una meridiana orizzontale con i relativi programmi di calcolo, mentre per la tematica in generale degli orologi solari, rimando ai vari siti che parlano di orologi solari e meridiane.

Intanto occorre fare distinzione tra meridiane orizzontali e meridiane verticali, le prime sono disegnate su un piano orizzontale, con un bastoncino verticale denominato gnomone, ed una volta costruite, vanno montate seguendo un orientamento ben preciso.
Quelle invece verticali sono leggermente più complesse da disegnare e costruire, e vanno montate come un quadro ad una parete esterna della casa esposta possibilmente a sud e comunque esposta al sole.

Dò qui per scontato che conosciate gli orologi solari di cui parlo, pertanto nel proseguo delle pagine entrerò direttamente nelle tematiche specifiche di programmazione Visual Basic per Excel.

La meridiana Sloan – Kluepfel

Era il lontano 1981 quando sull’edizione italiana di Scientific 
American, comparve un articolo di Martin Gardner che illustrava il 
codice Basic per la costruzione grafica di una meridiana a gnomone 
verticale.

La prima versione del programma redatta da C.K. Sloan conteneva però 
due errori gravi, che furono successivamente corretti da C. Kluepfel 
ed nel riquadro sottostante è inserito il listato completo del programma 
basic così come comparso nell’articolo della rivista scientifica.

Con questo codice viene calcolata la posizione della punta dello stilo 
per le ore che vanno dalla 7 di mattina (con il calcolo anche delle 
mezzore) sino alle ore 17 (variabile K nel ciclo “for -next”).

Il programma calcola, conoscendo Latitudine, Longitudine, altezza 
dello stilo e differenza di longitudine rispetto al meridiano di 
riferimento, anche l’equazione del tempo ed il ritardo/anticipo dovuto 
alla distanza angolare tra sito di calcolo e meridiano che determina 
il fuso orario.

Il risultato del calcolo sono le variabili DIST e TOTAL_ANGLE, la 
seconda è l’angolo tra l’intersezione della linea locale delle ore 12 
(meridiano locale) e la posizione dell’ombra all’ora di calcolo, la 
prima (DIST) la distanza dalla linea equinoziale.

Riconosco che è un calcolo un pò complicato, però nella pagina seguente
è inserito il programma di calcolo redatto tramite codice VBA su foglio Excel, dove 
i calcoli sono fatti in automatico, e sul foglio xls sono riportate le 
coordinate X e Y  da riportare successivamente in un diagramma 
cartesiano, in modo da facilitare la costruzione delle curve analemmatiche.

Calcolo delle linee orarie
Per il calcolo delle linee orarie è sufficiente asserare le variabili 
Differenza di Longitudine e Equazione del Tempo (DL e ET).

calcolo delle curve di declinazione
Per questo calcolo bisogna utilizzare oltre ai giorni significativi 
(solstizi ed equinozi) dei gruppi di giorni con pari valore di 
declinazione del sole opportunamente distanziati di una trentina di 
giorni, in modo da costruire una griglia non molto fitta, ma 
abbastanza leggibile per avere il riferimento della declinazione.

Per comodità, nella pagina seguente sono inseriti i programmi per il calcolo delle rette orarie e delle curve di declinazione, oltre al predetto xls per il calcolo degli analemmi.

Di seguito il codice Basic riportato nell’articolo con le modifiche.


10 CLS : RPD = .01745 : L = 35.0 * RPD : DL = 1.8 : H = 1.0
15 INPUT “MO,DA:”; MO,DA: IF MO < 3 THEN MO = MO + 12 
20 DA = DA + INT (30.6 * MO – 32.4): Z = 279.5 + DA * 360/365.25 : M = 57 + .9856 * DA 


25 LO = Z + 1.915 * SIN (M * RPD) + .02 * SIN (2 * M * RPD) 


30 X = SIN (LO * RPD) * .398 : D = ATN(X/ SQR(1 – X*X) ) : DECL = D / RPD : PRINT “DECL =”; DECL 


35 Y = COS (LO * RPD) / COS (D) : RA = ATN (SQR (1-Y*Y) / Y) : IF RA #60; 0 THEN RA = RA + 3.14159 


40 IF X < 0 THEN RA = -RA 
45 ET = RA – Z * RPD : ET = ET * 4/RPD 
50 IF ET < -720 THEN ET = ET + 1440: GO TO 50 
55 ET = ET/4 
60 PRINT “DL=”; DL, “EQ TIME =”; ET, “TOTAL ANGLE =”; DL + ET 
70 PRINT ” “: PRINT “TIME(HRS)”, “DIST(METERS)” 
80 X = TAN (L) : F = 1 / COS (L) : G = X + 1 / X : W = 1 / SIN (L) 85 T = -5 
90 FOR K = -10 TO 10 : C = (K * 7.5 – DL – ET) * RPD : B = TAN (C) 
100 E = SQR ( (B * F) ^ 2 + G ^ 2) / G : J = 1/ (E * X) 
110 A = ATN ( (G * E – J) / SQR (W ^ 2 – J ^ 2) ) 
120 Z = TAN (A – D) / TAN (A) : DIST = H * (Z – 1) * (G * E – J) 
130 PRINT T, DIST : T = T + .5 : NEXT K : END

Griglia base meridiana orizzontale

Nella figura in alto è rappresentata la griglia con le rette orarie e le curve delle declinazioni del sole in specifici giorni dell’anno.
Si può verificare che i fogli xls con le coordinate cartesiane per i punti delle varie linee e delle varie curve semplificano di molto la costruzione del disegno della griglia, rispetto al codice Basic originale di Sloan e Kluepfel. E’ stato inoltre  utilizzato per il disegno del diagramma un programma di disegno vettoriale, con l’  “origine”, (punto di intersezione tra le rette x ed y),  coincidente con il punto di inserimento dello stilo verticale.

griglia con soli analemmi orari

Nella figura in alto è rappresentata la griglia con gli analemmi per le varie ore del giorno.
Anche qui i dati di calcolo ricavati dai fogli xls hanno semplificato il disegno delle varie curve orarie.

Nel disegno, In alto a destra, è riportato il diagramma di lettura del posizionamento dell’ombra nei vari mesi dell’anno, la posizione si differenzia tra i mesi con pari declinazione a causa del diverso valore della Equazione del Tempo.

griglia completa

Diagramma completo della meridiana orizzontale, con linee orarie, curve di declinazione e analemmi, riportate le coordinate del sito per cui è stato fatto il calcolo.

Notare che i colori semplificano la lettura della griglia, che può così essere stampata su carta ed incollata su supporti diversi.

Chiaramente per poter effettuare una lettura precisa occorre una scala idonea, almeno un formato A4, meglio un foglio A3.

NOTA IMPORTANTE

Mi ha scritto “prosdodici” dicendo che anche lui, al tempo di uscita dell’articolo di Le Scienze,  provo’ a costruire la meridiana utilizzando il codice corretto di Sloan – Kluepfel ma di aver riscontrato una notevole differenza tra la posizione dell’ombra dello stilo e quella dell’analemma orario che doveva servire di riscontro per la lettura dell’ora; e pertanto abbandono’ il progetto.
In effetti anche io trovai questa differenza: approfondendo l’argomento trovai in effetti un errore fondamentale nel codice basic, che corressi inserendo nel calcolo anche la variabile “co-latitudine”.
Riprovai a ridisegnare la griglia della meridiana e potei verificare l’assoluta precisione della lettura dell’ombra dello stilo.
I fogli excel che costruii in seguito contenevano questa correzione.
I file xls e il codice vba nei file pdf contengono questa correzione, pertanto i disegni delle griglie meridiane sono corretti ed è facilmente riscontrabile, costruendo il solo analemma delle ore 12 (k=0) la precisione del calcolo.
Si potrebbe pertanto parlare di codice basic Sloan -Kluepfel –  Mazzei .